La ira de Khan y ataúdes caídos del cielo

En “Star Trek II: La ira de Khan” (1982), Khan, el último líder de los mutantes que motivaron las guerras eugenésicas, logra escapar del planeta donde lo exiliaron, proponiéndose vengarse a toda costa del almirante Kirk, a quien culpa de su exilio. Tras una serie de persecuciones, arreglos improvisados de la nave de la Enterprise dirigida por Kirk y algún que otro asuntillo familiar, a la salida de una nebulosa el dispositivo Génesis estalla en la nave de Khan.

Algo que me chocó bastante nada más suceder fue cuando, ya al final de la película, Spock se introduce en la cámara donde se guarda la antimateria que crea la burbuja Wrap. En la película no dicen tanto, pero puede verse cómo Spock se introduce en una corriente luminosa de rayos gamma. Partiendo de que, ya de mano, no sé qué fue lo que realmente Spock pudo arreglar allí, el hecho es que muere (aunque muy lentamente; es vulcano, claro…). Podéis verlo en este video que sigue:

Del minuto 5:10 en adelante es de lo que trataremos hoy. Analizaremos la trayectoria del ataúd de Spock hasta el planeta Génesis (sí, en el video no se ve, pero esa estela de luz es el ataúd).

Supondremos que la Tierra no gira sobre su eje, ya que además tendríamos que considerar cómo se desviaría el ataúd, y al radio y la masa de Génesis los llamaremos R y M, respectivamente. Aunque Génesis sea un planeta ficticio, la constante G universal seguirá siendo la misma.

La distancia sobre a la que lanzan el ataúd será r=R+h, la velocidad inicial v₀ y el ángulo φ el que la velocidad forma con la dirección radial:

Por la ley de la Gravitación Universal, sabemos que al lanzar un objeto desde determinada altura, éste describe una órbita elíptica, que se aproxima a una parabólica cuando alcance y la altura máxima son pequeños al compararlos con el radio del planeta o satélite desde el que se lance.

Al ver la escena en la que la Enterprise lanza el ataúd, deducimos que φ es, aproximadamente, 90º (con un margen de varios grados de más o de menos), porque el proyectil “rodea” el planeta Génesis. Si φ estuviese comprendido entre 0º y unos grados menos que 90º (ese ángulo máximo depende de la velocidad y la distancia a las que lanzan el ataúd), en la película podría verse el punto en el que Spock impacta. Para hacernos una idea, ésta sería una aproximación de la trayectoria:

Y, si φ estuviese comprendido entre algo más de 90º y 180º, no sólo deberíamos ver el punto de impacto, sino que además, veríamos el ataúd en todo momento (es decir, su posición respecto al centro de Génesis nunca sería de mayor distancia que la de la nave):

Así que, a partir de ahora, vamos a trabajar con φ=90º. La velocidad a la que el ataúd impactará vendrá dada por la conservación de la energía (donde r final es el propio radio R):
Como vemos, la masa de Spock y su ataúd no influye. Al despejar, queda:

Respecto al punto donde impacta, vendrá dado sustituyendo r=R en la ecuación de la trayectoria, que dada en coordenadas polares, es:


donde ε es la excentricidad de la órbita
y d un parámetro adicional:

Puesto que R es conocido y estamos en coordenadas polares, lo que da la posición es el ángulo:

Estas ecuaciones parecen algo abstractas, así a simple vista, y en la película el ataúd de Spock permanece perfectamente colocado sobre la superficie de Génesis, sin ningún tipo de desorden a su alrededor. Así que vamos a ponernos en la situación hipotética (basándonos en que Génesis pretende ser una especie de Tierra en desarrollo) de que Génesis es la mitad del planeta terrestre (su masa es la mitad que la de la tierra y, por tanto, su radio es el de la Tierra, si consideramos que tienen igual densidad) y que la Enterprise lanza a Spock a una velocidad y una altura de

Se obtendría que la velocidad con la que Spock impacta sobre la superficie de Génesis es de, aproximadamente, 8320 m/s.

Y respecto a la trayectoria que seguiría, sería:

Si en vez de con estos datos queréis visualizar distintas órbitas para el caso de que Génesis fuese igual a la Tierra (con la opción de variar el ángulo, la distancia h y la velocidad inicial), en esta página hay un programa que lo permite:

Simulador de lanzamiento de un proyectil. Página de Ángel Franco.